Logaritma

 

BELAJAR APA KITA ...?!

@Math.Tricks - Awal mula logaritma berasal dari kata algoritma yang berarti proses menghitung dengan angka Arab. Penemu algoritma adalah Abu Abdullah Muhammad Ibnu Musa al-khawarizmi. Sejarah kemudian dilanjutkan John napier yang merupakan ahli matematika berkebangsaan Inggris. Tahun 1612 masehi dia menemukan sebuah sistem yang diberi nama logaritma yang berasal dari nama Muhammad Ibnu khawriz. Dan sekarang temuannya itu lebih dikenal dengan nama logaritma Bapier.

Logaritma adalah suatu invers atau kebalikan dari EKSPONEN yang dipakai dalam menentukan besar pangkat dari sebuah bilangan pokok. Pada intinya, dengan mempelajari logaritma maka kita dapat mencari besar pangkat dari sebuah bilangan yang diketahui hasil pangkatnya. Jadi, sahabat Math.Trick diharapkan sudah memahami pelajaran Eksponen terlebih dahulu sebelum masuk ke materi logaritma.

LOGARITMA

👉 dinyatakan dalam bentuk berikut:

Dibaca : banyak perkalian bilangan $a$ sehingga menghasilkan $b$.

Untuk bilangan pokok $a=10$, penulisan logaritmanya sebagai berikut :

Bentuk umum logaritma memiliki kaitan dengan bentuk eksponen.

Contoh:

Berikut beberapa sifat-sifat logaritma dengan syarat : $a>0$ dan $a\neq 1$

1. $^a\log a=1$
2. $^a\log 1=0$
3. $\log 10=1$
4. $^a\log a^n=n$
5. $^{a}\log \left ( b\times c \right )=$ $^{a}\log b +$ $ ^a\log c$
6. $^{a}\log \left ( \dfrac{b}{c}\right )=$ $ ^{a}\log b -$ $ ^a\log c$
7. $^a\log b^n=n\times$ $^a\log b$
8. $^{a}\log b=\dfrac{^m\log b}{^m\log a}=\dfrac{1}{^b\log a}$
9. $^{a}\log b\times ^{b}\log c=$ $^{a}\log c$
10. $^{a^{m}}\log b^n=\dfrac{n}{m}\times ^a\log b$
11. $a^{^{a}\log b}=b$
12. $^a\log \dfrac{1}{x}=-$ $^a\log x$

Contoh:
    Hasil dari $^3\log 4+^3\log 12-^3\log 6$ adalah...

    Jawab:

        $^3\log 4+^3\log 12-^3\log 6$

            $=^3\log \left ( 4\times 12 \right )-^3\log 6$
            $=^3\log \left ( \dfrac{48}{6} \right )$
            $=^3\log 8$
            $=^3\log 2^3$
            $=3\times ^3\log 2$

Dalam kehidupan sehari-hari, logaritma biasa dimanfaatkan dalam penghitungan kadar asam, intensitas bunyi, penghitungan bunga majemuk, dan banyak lagi. Aplikasi tersebut disajikan dalam bentuk fungsi logaritma.

👉 Fungsi logaritma dinyatakan dalam bentuk berikut:

A. Bentuk persamaan logaritma dan cara penyelesaiannya

Bentuk 1 $^a\log f\left ( x \right )=b$ Maka : $f\left ( x \right )=a^{b}$	Bentuk 2 $^a\log f\left ( x \right )=^a\log b$ Maka : $f\left ( x \right )=b$
Bentuk 3 $^a\log f\left ( x \right )=^a\log g\left ( x \right )$ Maka : $f\left ( x \right )=g\left ( x \right )$ Syarat : $f\left ( x \right )>0$ dan $g\left ( x \right )>0$	Bentuk 4 $A\left ( ^p\log f\left ( x \right ) \right )^{2}+B\left ( ^p\log f\left ( x \right ) \right )+C=0$ Maka: Misalkan : $y=^p\log f\left ( x \right )$ Selesaikan persamaan kuadrat $Ay^{2} +By+C=0$ Substitusi $y$ ke persamaan No.1 untuk memperoleh nilai $x$

Contoh:

Hitung nilai $x$ dari $\log \left ( x^{2}-1 \right )-\log \left ( x-1 \right )=1+\log \left ( x-8 \right )$
Jawab:

        $\log \left ( x^{2}-1 \right )-\log \left ( x-1 \right )=1+\log \left ( x-8 \right )$
        $\log \left ( x^{2}-1 \right )-\log \left ( x-1 \right )=\log 10+\log \left ( x-8 \right )$

            $\Leftrightarrow \log \left ( \dfrac{x^{2}-1}{x-1} \right )= \log 10\times \left ( x-8 \right )$

            $\Leftrightarrow \dfrac{x^{2}-1}{x-1}= 10x-80$

            $\Leftrightarrow \dfrac{\left ( x+1 \right )\left ( x-1 \right )}{x-1}= 10x-80$

            $\Leftrightarrow x+1= 10x-80$

            $\Leftrightarrow 9x=81$

            $\Leftrightarrow x=9$

B. Bentuk pertidaksamaan logaritma dan cara penyelesaiannya

Untuk $a>1$ $^a\log f\left ( x \right )<$ $^a\log g\left ( x \right )$ maka $0<f\left ( x \right )<g\left ( x \right )$ $^a\log f\left ( x \right )>$ $^a\log g\left ( x \right )$ maka $f\left ( x \right )>g\left ( x \right )>0$

Untuk $0<a<1$ $^a\log f\left ( x \right )<$ $^a\log g\left ( x \right )$ maka $f\left ( x \right )>g\left ( x \right )>0$ $^a\log f\left ( x \right )>$ $^a\log g\left ( x \right )$ maka $0<f\left ( x \right )<g\left ( x \right )$

Contoh:

Niai $x$ yang memenuhi $^2\log \left ( 2x+1 \right )<$ $^2\log 3$ adalah...

Jawab:

        Nilai $a=2>1$ maka:

        $0<f\left ( x \right )<g\left ( x \right )$

        $\Leftrightarrow 0<2x+1<3$

        $\Leftrightarrow -1<2x<3-1$

        $\Leftrightarrow -\dfrac {1}{2}<x<1$

Jadi, Hp $=\left\{-\dfrac{1}{2}<x<1\right\}$

Berikut nilai $x$ jika dicari dengan garis bilangan:

C. Bentuk grafik fungsi logaritma

---

Demikian ringkasan materi Matematika SMA - Logaritma. Dipersilahkan kepada para pembaca untuk mengisi kolom komentar atau buku tamu di kanan atas blog ini jika ada tambahan catatan, koreksi, kritik dan saran supaya postingan ini lebih baik lagi. Terima kasih sudah berkunjung, semoga bermanfaat. CMIIW 😃

---