Fungsi Eksponen

BELAJAR APA KITA ...?!

@Math.Tricks - Salah satu penerapan eksponen adalah digunakan dalam merumuskan suatu formula dalam bentuk fungsi eksponen. Pada postingan sebelumnya dengan judul EKSPONENSIAL, kita sudah mempelajari bentuk dan operasi eksponen. Pada postingan kali ini, kita akan memperdalam lagi pengetahuan kita tentang eksponen yaitu bagaimana jika perpngkatan bertemu dengan suatu fungsi yang memuat variabel pada bagian pangkatnya. Bentuk ini disebut dengan Fungsi Eksponen.

Sebelum mempelajari fungsi eksponen, kita akan membahas terlebih dahulu betuk Persamaan dan Pertidaksamaan Eksponen beserta sifat-sifat dan cara penyelesaiannya. Tujuannya adalah untuk mencari variabel bebas $x$ sehigga bisa disajikan dalam bentuk tabel atau grafik fungsi.

FUNGSI EKSPONEN

👉 dinyatakan dalam bentuk berikut:

Berikut bentuk-bentuk persamaan eksponen dan cara penyelesaiannya:

Bentuk 1 $a^{f\left ( x \right )}=a^{p}$ Maka : $f\left ( x \right )=p$	Bentuk 3 $a^{f\left ( x \right )}=a^{^{g\left ( x \right )}}$ Maka : $f\left ( x \right )=g\left ( x \right )$
Bentuk 2 $a^{f\left ( x \right )}=1$ Maka : $f\left ( x \right )=0$	Bentuk 4 $a^{f\left ( x \right )}=b^{f\left ( x \right )}$ Maka : $f\left ( x \right )=0$

Contoh :

Jika $4^{m-1}=32$, maka nilai dari $2^{m}$ adalah...

Jawab:

Bentuk persamaan eksponen berikutnya:

Bentuk 5 $f\left ( x \right )^{h\left ( x \right )}=g\left ( x \right )^{h\left ( x \right )}$ Maka: $f\left ( x \right )=g\left ( x \right )$ $h\left ( x \right )=0$ dengan $f\left ( x \right )\neq 0$, $g\left ( x \right )\neq 0$ $f\left ( x \right )=-g\left ( x \right )$ dengan $h\left ( x \right )=$ genap	Bentuk 6 $h\left ( x \right )^{f\left ( x \right )}=h\left ( x \right )^{g\left ( x \right )}$ Maka: $f\left ( x \right )=g\left ( x \right )$ $h\left ( x \right )=1$ $h\left ( x \right )=0$ dengan $f\left ( x \right )> 0$, $g\left ( x \right )> 0$ $h\left ( x \right )=-1$ dengan $f\left ( x \right )$ dan $g\left ( x \right )$ dua-duanya genap, atau dua-duanya ganjil
Bentuk 7 Bentuk persamaan kuadrat eksponen $A\left ( a^{x} \right )^{2}+B\left ( a^{x} \right )+C=0$ Maka: Misalkan $y=a^{x}$ Selesaikan persamaan kuadrat $Ay^{2}+By+C=0$ Nila $y$ yang didapat, substitusikan ke persamaan No.1 untuk mendapatkan nilai $x$

Contoh :

Nilai $x$ yang memenuhi persamaan $\left ( x-1 \right )^{2x-5}=\left ( x-1 \right )^{x+2}$ adalah...

Jawab:

    Bentuk : $h\left ( x \right )^{f\left ( x \right )}=h\left ( x \right )^{g\left ( x \right )}$

    Diketahui : 

            $h\left ( x \right )=x-1$
            $f\left ( x \right )=2x-5$
            $g\left ( x \right )=x+2$

    Maka:

    1. $f\left ( x \right )=g\left ( x \right )$

        $2x-5=x+2$

        $x=7$

    2. $h\left ( x \right )=1$

        $x-1=1$

        $x=2$

    3. $h\left ( x \right )=0$

        $x-1=0$

        $x=1$

        Substitusi $x=1$ ke $f\left ( x \right )=f\left ( 1 \right )=2\left ( 1 \right )-5=-3<0$

        Syarat $f\left ( x \right )> 0$ tidak terpenuhi

        Maka $x=1$ bukan penyelesaiannya.

    4. $h\left ( x \right )=-1$

        $x-1=-1$

        $x=0$

        Substitusi $x=0$ ke $f\left ( x \right )=f\left ( 0 \right )=2\left ( 0 \right )-5=-5$ ganjil

        Substitusi $x=0$ ke $g\left ( x \right )=g\left ( 0 \right )=0+2=2$ genap

        Syarat $f\left ( x \right )$ dan $g\left ( x \right )$ dua-duanya ganjil tidak terpenuhi

        Maka $x=0$ bukan penyelesaiannya.

Jadi, nilai $x$ yang memenuhi persamaan eksponen di atas adalah $Hp=\left\{ 2,7\right\}$

Berikut beberapa sifat eksponen pada pertidaksamaan:

Jika $a>1$, maka :

Jika $0<a<1$, maka :

Contoh :

Himpunan penyelesaian dari $49^{3x-4}>7^{x^{2}}$ adalah...

Jawab:

    $49^{3x-4}>7^{x^{2}}$

    $\Leftrightarrow \left ( 7^{2} \right )^{3x-4}>7^{x^{2}}$
    $\Leftrightarrow 7^{6x-8}>7^{x^{2}}$
    $\Leftrightarrow 6x-8>x^{2}$
    $\Leftrightarrow 0>x^{2}-6x+8$
    $\Leftrightarrow 0>\left ( x-4 \right )\left ( x-2 \right )$
    $\Leftrightarrow \left ( x-4 \right )\left ( x-2 \right )<0$

    Diperoleh nilai $x$:

        $x-4=0$

        $ x_{1}=4$
    dan

        $x-2=0$

        $ x_{2}=2$

    Masukkan ke dalam garis bilangan untuk mencari daerah minus yaitu $<0$

   
    Jadi, nilai $x$ berada pada selang $Hp=\left\{ 2<x<4\right\}$

A. Pertumbuhan Eksponen

            

Contoh :

Untuk mengamati pertumbuhan suatu bakteri pada inangnya, seorang peneliti mengambil potongan inang yang sudah terinfeksi bakteri tersebut dan mengamatinya selama 5 jam pertama. Pada inang tersebut, terdapat 30 bakteri. Setelah diamati, bakteri tersebut membelah menjadi dua setiap 30 menit.

1. Modelkan rumus pertumbuhan bakteri dengan pola $f\left ( x \right )=n\cdot a^{x}$

  

    Dari tabel didapat pola : $f\left ( x \right )=30\cdot 2^{x}$

2. Buat grafik fungsinya

3. Hitung banyak bakteri setelah $5$ jam.

    Mula-mula, akan dicari nilai $x$ pada saat $5$ jam:

        $x=\dfrac{\textrm{5 jam}}{\textrm{30 menit}}=\dfrac{5\times \textrm{60 menit}}{\textrm{30 menit}}=10$

    Masukkan nilai $x$ ke rumus No.1, diperoleh banyak bakteri:

        $f\left ( 10 \right )=30\times 2^{10}=30.720$

B. Peluruhan Eksponen
              
Contoh :

Obat penahan rasa sakit disuntikkan kepada pasien yang mengalami luka berat akibat kecelakaan. Dosis obat yang disuntikkan adalah 50 mikrogram. Satu jam setelah penyuntikan, setengah dosis tersebut akan luruh dan dikeluarkan dari dalam tubuh. Proses tersebut akan terus berulang setiap jam.

1. Modelkan rumus peluruhan obat dengan pola $f\left ( x \right )=n\cdot a^{x}$

    

    Dari tabel didapat pola : $f\left ( x \right )=50\cdot \left ( \dfrac{1}{2} \right )^{x}$
2. Buat grafik fungsinya

3. Dosis obat setelah $5$ jam

    Nilai $x$ saat 5 jam adalah $x=5$

    Masukkan nilai $x$ ke rumus No.1, diperoleh:

        $f\left ( 5 \right )=50\cdot \left ( \dfrac{1}{2} \right )^{5}=\dfrac{50}{32}=1,5625$

C. Grafik Fungsi Eksponen

---

Demikian ringkasan materi Matematika SMA - Fungsi Eksponen. Dipersilahkan kepada para pembaca untuk mengisi kolom komentar atau buku tamu di kanan atas blog ini jika ada tambahan catatan, koreksi, kritik dan saran supaya postingan ini lebih baik lagi. Terima kasih sudah berkunjung, semoga bermanfaat. CMIIW 😃

---