Eksponen

BELAJAR APA KITA ...?!

@Math.Tricks - Eksponen pada ilmu matematika awalnya ditemukan oleh Rene Decartes (1596-1650). Tujuan eksponen adalah untuk menyingkat penulisan bilangan yang sangat besar atau bilangan yang sangat kecil dengan perkalian berulang. Contoh jarak bumi ke matahari ditulis $1$ SA $=1,5\times 10^{8}$.

Setelah sebelumnya kita mengenal operasi penjumlahan dan perkalian, sekarang kita akan mempelajari istilah operasi lain dalam matematika yaitu eksponen. Eksponen atau bilangan berpangkat didefinisikan sebagai perkalian berulang. Sebagaimana yang sudah dipelajari saat SMP - Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar, kali ini kita akan perdalam lagi dengan mempelajari Fungsi Eksponen dan Logaritma.

EKSPONEN

👉 dinyatakan dalam bentuk berikut:

Eksponen didefinisikan sesuai bentuk bilangan pangkatnya.

Pangkat Bulat Positif  Contoh : $3^{4}=3\times 3\times 3\times 3=81$	Pangkat Nol Contoh : $3^{0}=1$
Pangkat Bulat Negatif Contoh : $3^{-2}=\dfrac{1}{3^{2}}=\dfrac{1}{9}$	Pangkat Pecahan Contoh : $a^{\Large\frac{1}{3}}=2$                     $a=2^{\Large\frac{3}{1}}$                     $a=2^{3}=8$

Sifat-sifat eksponen :

$a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}$ $\Large\frac{a^{m}}{a^{n}}$$=a^{m-n}$ $\left ( a^{m} \right )^{n}=a^{m\times n}$ $\left ( ab \right )^{n}=a^{n}\times b^{n}$

$\left ( \dfrac{a}{b} \right )^{n}=\dfrac{a^{n}}{b^{n}}$ $\left ( a^{\Large\frac{m}{n}} \right )$$\left( a^{\Large\frac{p}{q}} \right )$$=\left ( a \right )^{\Large\frac{m}{n}+\frac{p}{q}}$

Contoh :

Bentuk sederhana dari perkalian berikut adalah:

👉 Berasal dari bentuk pangkat pecahan sebagai berikut:

Sifat-sifat bentuk akar :

$a\sqrt{c}\pm b\sqrt{c}=\left ( a\pm b \right )\sqrt{c}$ $\sqrt{a}\times \sqrt{b}=\sqrt{a\times b}$ $a\sqrt{b}\times  c\sqrt{d}=\left ( a\times  c \right )\sqrt{b\times d}$ $\sqrt{a}\left (\sqrt{b}\pm \sqrt{c}  \right )=\sqrt{ab}\pm \sqrt{ac}$

$\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}$ $\dfrac{a\sqrt{b}}{c\sqrt{d}}=\dfrac{a}{c}\sqrt{\dfrac{b}{d}}$

Bentuk lain perkalian akar :

$\left ( \sqrt{a}\pm \sqrt{b} \right )^{2}=a\pm  2\sqrt{ab}+b$ $\left ( \sqrt{a}+ \sqrt{b} \right )\left ( \sqrt{a}- \sqrt{b} \right )=a-b$

$\sqrt{\left ( a+b \right )+2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$ $\sqrt{\left ( a+b \right )-2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}-\sqrt{b}$

Merasionalkan Bentuk Akar :

Pada bilangan pecahan, bentuk akar tidak boleh berada pada posisi penyebut / dibawah tanda bagi. Oleh sebab itu, jika ditemukan bentuk akar berada dibawah tanda bagi, maka harus dirasionalkan dengan cara mengalikan akar sekawan.

1. $\dfrac{a}{\sqrt{b}}=\dfrac{a}{\sqrt{b}}\times \dfrac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}}=\dfrac{a}{b}\sqrt{b}$
2. $\dfrac{a}{b\pm \sqrt{c}}=\dfrac{a}{b\pm \sqrt{c}}\times \dfrac{b\mp \sqrt{c}}{b\mp \sqrt{c}}=\dfrac{a\left ( b\mp \sqrt{c} \right )}{b^{2}-c}$
3. $\dfrac{a}{\sqrt{b}\pm \sqrt{c}}=\dfrac{a}{\sqrt{b}\pm \sqrt{c}}\times \dfrac{\sqrt{b}\mp \sqrt{c}}{\sqrt{b}\mp \sqrt{c}}=\dfrac{a\left ( \sqrt{b}\mp \sqrt{c} \right )}{b-c}$

Contoh :

Rasionalkan bentuk berikut:

Beberapa contoh soal ujian dan pembahasannya:

1. Bentuk sederhana dari $\dfrac{\left ( -5 \right )^{6}\times 25^{2}}{125}$ adalah...

    a. $5^{8}$
    b. $5^{7}$
    c. $-5^{7}$
    d. $-5^{8}$
    e. $-5^{10}$

Jawab:

$\dfrac{\left ( -5 \right )^{6}\times 25^{2}}{125}$
        $=\dfrac{\left ( -1\times 5 \right )^{6}\times \left ( 5^{2} \right )^{2}}{5\times 5\times 5}$
        $= \dfrac{\left ( -1 \right )^{6}\times 5^{6}\times 5^{4}}{5^{3}}$
        $= \dfrac{1\times 5 ^{6+4}}{5^{3}}$
        $= \dfrac{5 ^{10}}{5^{3}}=5^{10-3}=5^{7}$ B

2. Hitung $\dfrac{1^{-4}+2^{-4}+3^{-4}+4^{-4}+...}{1^{-4}+3^{-4}+5^{-4}+7^{-4}...}=...$

    a. $\dfrac{14}{13}$

    b. $\dfrac{15}{16}$

    c. $\dfrac{16}{15}$

    d. $\dfrac{17}{16}$

    e. $\dfrac{16}{17}$

Jawab:

Misalkan : $y=\dfrac{1^{-4}+2^{-4}+3^{-4}+4^{-4}+...}{1^{-4}+3^{-4}+5^{-4}+7^{-4}...}$

Maka:

$y=\dfrac{1^{-4}+2^{-4}+3^{-4}+4^{-4}+...}{1^{-4}+3^{-4}+5^{-4}+7^{-4}...}$

$y=\dfrac{1^{-4}+3^{-4}+5^{-4}+7^{-4}+...+2^{-4}+4^{-4}+6^{-4}+8^{-4}+...}{1^{-4}+3^{-4}+5^{-4}+7^{-4}...}$

$y= \dfrac{1^{-4}+3^{-4}+5^{-4}+7^{-4}+...}{1^{-4}+3^{-4}+5^{-4}+7^{-4}...}+\dfrac{2^{-4}+4^{-4}+6^{-4}+8^{-4}+...}{1^{-4}+3^{-4}+5^{-4}+7^{-4}...}$

$y= 1+\dfrac{\left ( 1\times 2 \right )^{-4}+\left ( 2\times 2 \right )^{-4}+\left ( 3\times 2 \right )^{-4}+\left ( 4\times 2 \right )^{-4}+...}{1^{-4}+3^{-4}+5^{-4}+7^{-4}...}$

$y=1+\dfrac{2^{-4}\left ( 1^{-4}+2^{-4}+3^{-4}+4^{-4}+... \right )}{1^{-4}+3^{-4}+5^{-4}+7^{-4}...}$

$y=1+2^{-4}y$

$y-1=\dfrac{y}{2^{4}}$

$2^{4}\left ( y-1 \right )=y$

$16y-16=y$

$16y-y=16$

$15y=16$

$y=\dfrac{16}{15}$ C

3. Hitung $\dfrac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}=...$

    a. 6

    b. 7

    c. 8

    d. 9

    e. 10

Jawab:

Rasionalkan masing-masing penyebut
$=\dfrac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}\times \dfrac{\sqrt{1}-\sqrt{2}}{\sqrt{1}-\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}\times \dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}\times \dfrac{\sqrt{99}-\sqrt{100}}{\sqrt{99}-\sqrt{100}}$

$=\dfrac{\sqrt{1}-\sqrt{2}}{-1}+ \dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{-1}+\dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{4}}{-1}+...+ \dfrac{\sqrt{99}-\sqrt{100}}{-1}$

$=-\sqrt{1}+\sqrt{2}-\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{3}+\sqrt{4}-...+\sqrt{99}-\sqrt{99}+\sqrt{100}$

$=-\sqrt{1}+\sqrt{100}$

$=-1+10$

$=9$  D

4. Bentuk sederhana dari $\sqrt{8+2\sqrt{15}}$ adalah...
    a. $\sqrt{5}+\sqrt{2}$
    b. $\sqrt{5}+\sqrt{3}$
    c. $\sqrt{5}-\sqrt{2}$
    d. $\sqrt{5}-\sqrt{3}$
    e. $\sqrt{5}+\sqrt{7}$

Jawab:

$\sqrt{8+2\sqrt{15}}=\sqrt{\left ( 5+3 \right )+2 \sqrt{5\times 3}}$
                    $=\sqrt{5}+\sqrt{3}$ B

---

Demikian ringkasan materi Matematika SMA - Eksponen. Dipersilahkan kepada para pembaca untuk mengisi kolom komentar atau buku tamu di kanan atas blog ini jika ada tambahan catatan, koreksi, kritik dan saran supaya postingan ini lebih baik lagi. Terima kasih sudah berkunjung, semoga bermanfaat. CMIIW 😃

Materi selanjutnya....

 👈 Click here....

 👈 Click here....

---