Logaritma

 

BELAJAR APA KITA ...?!

@Math.Tricks - Awal mula logaritma berasal dari kata algoritma yang berarti proses menghitung dengan angka Arab. Penemu algoritma adalah Abu Abdullah Muhammad Ibnu Musa al-khawarizmi. Sejarah kemudian dilanjutkan John napier yang merupakan ahli matematika berkebangsaan Inggris. Tahun 1612 masehi dia menemukan sebuah sistem yang diberi nama logaritma yang berasal dari nama Muhammad Ibnu khawriz. Dan sekarang temuannya itu lebih dikenal dengan nama logaritma Bapier.

Logaritma adalah suatu invers atau kebalikan dari EKSPONEN yang dipakai dalam menentukan besar pangkat dari sebuah bilangan pokok. Pada intinya, dengan mempelajari logaritma maka kita dapat mencari besar pangkat dari sebuah bilangan yang diketahui hasil pangkatnya. Jadi, sahabat Math.Trick diharapkan sudah memahami pelajaran Eksponen terlebih dahulu sebelum masuk ke materi logaritma.

LOGARITMA

👉 dinyatakan dalam bentuk berikut:

Dibaca : banyak perkalian bilangan $a$ sehingga menghasilkan $b$.

Untuk bilangan pokok $a=10$, penulisan logaritmanya sebagai berikut :

Bentuk umum logaritma memiliki kaitan dengan bentuk eksponen.

Contoh:

Berikut beberapa sifat-sifat logaritma dengan syarat : $a>0$ dan $a\neq 1$

1. $^a\log a=1$
2. $^a\log 1=0$
3. $\log 10=1$
4. $^a\log a^n=n$
5. $^{a}\log \left ( b\times c \right )=$ $^{a}\log b +$ $ ^a\log c$
6. $^{a}\log \left ( \dfrac{b}{c}\right )=$ $ ^{a}\log b -$ $ ^a\log c$
7. $^a\log b^n=n\times$ $^a\log b$
8. $^{a}\log b=\dfrac{^m\log b}{^m\log a}=\dfrac{1}{^b\log a}$
9. $^{a}\log b\times ^{b}\log c=$ $^{a}\log c$
10. $^{a^{m}}\log b^n=\dfrac{n}{m}\times ^a\log b$
11. $a^{^{a}\log b}=b$
12. $^a\log \dfrac{1}{x}=-$ $^a\log x$

Contoh:
    Hasil dari $^3\log 4+^3\log 12-^3\log 6$ adalah...

    Jawab:

        $^3\log 4+^3\log 12-^3\log 6$

            $=^3\log \left ( 4\times 12 \right )-^3\log 6$
            $=^3\log \left ( \dfrac{48}{6} \right )$
            $=^3\log 8$
            $=^3\log 2^3$
            $=3\times ^3\log 2$

Dalam kehidupan sehari-hari, logaritma biasa dimanfaatkan dalam penghitungan kadar asam, intensitas bunyi, penghitungan bunga majemuk, dan banyak lagi. Aplikasi tersebut disajikan dalam bentuk fungsi logaritma.

👉 Fungsi logaritma dinyatakan dalam bentuk berikut:

A. Bentuk persamaan logaritma dan cara penyelesaiannya

Bentuk 1 $^a\log f\left ( x \right )=b$ Maka : $f\left ( x \right )=a^{b}$	Bentuk 2 $^a\log f\left ( x \right )=^a\log b$ Maka : $f\left ( x \right )=b$
Bentuk 3 $^a\log f\left ( x \right )=^a\log g\left ( x \right )$ Maka : $f\left ( x \right )=g\left ( x \right )$ Syarat : $f\left ( x \right )>0$ dan $g\left ( x \right )>0$	Bentuk 4 $A\left ( ^p\log f\left ( x \right ) \right )^{2}+B\left ( ^p\log f\left ( x \right ) \right )+C=0$ Maka: Misalkan : $y=^p\log f\left ( x \right )$ Selesaikan persamaan kuadrat $Ay^{2} +By+C=0$ Substitusi $y$ ke persamaan No.1 untuk memperoleh nilai $x$

Contoh:

Hitung nilai $x$ dari $\log \left ( x^{2}-1 \right )-\log \left ( x-1 \right )=1+\log \left ( x-8 \right )$
Jawab:

        $\log \left ( x^{2}-1 \right )-\log \left ( x-1 \right )=1+\log \left ( x-8 \right )$
        $\log \left ( x^{2}-1 \right )-\log \left ( x-1 \right )=\log 10+\log \left ( x-8 \right )$

            $\Leftrightarrow \log \left ( \dfrac{x^{2}-1}{x-1} \right )= \log 10\times \left ( x-8 \right )$

            $\Leftrightarrow \dfrac{x^{2}-1}{x-1}= 10x-80$

            $\Leftrightarrow \dfrac{\left ( x+1 \right )\left ( x-1 \right )}{x-1}= 10x-80$

            $\Leftrightarrow x+1= 10x-80$

            $\Leftrightarrow 9x=81$

            $\Leftrightarrow x=9$

B. Bentuk pertidaksamaan logaritma dan cara penyelesaiannya

Untuk $a>1$ $^a\log f\left ( x \right )<$ $^a\log g\left ( x \right )$ maka $0<f\left ( x \right )<g\left ( x \right )$ $^a\log f\left ( x \right )>$ $^a\log g\left ( x \right )$ maka $f\left ( x \right )>g\left ( x \right )>0$

Untuk $0<a<1$ $^a\log f\left ( x \right )<$ $^a\log g\left ( x \right )$ maka $f\left ( x \right )>g\left ( x \right )>0$ $^a\log f\left ( x \right )>$ $^a\log g\left ( x \right )$ maka $0<f\left ( x \right )<g\left ( x \right )$

Contoh:

Niai $x$ yang memenuhi $^2\log \left ( 2x+1 \right )<$ $^2\log 3$ adalah...

Jawab:

        Nilai $a=2>1$ maka:

        $0<f\left ( x \right )<g\left ( x \right )$

        $\Leftrightarrow 0<2x+1<3$

        $\Leftrightarrow -1<2x<3-1$

        $\Leftrightarrow -\dfrac {1}{2}<x<1$

Jadi, Hp $=\left\{-\dfrac{1}{2}<x<1\right\}$

Berikut nilai $x$ jika dicari dengan garis bilangan:

C. Bentuk grafik fungsi logaritma

---

Demikian ringkasan materi Matematika SMA - Logaritma. Dipersilahkan kepada para pembaca untuk mengisi kolom komentar atau buku tamu di kanan atas blog ini jika ada tambahan catatan, koreksi, kritik dan saran supaya postingan ini lebih baik lagi. Terima kasih sudah berkunjung, semoga bermanfaat. CMIIW 😃

---

Baca Selengkapnya »

Fungsi Eksponen

BELAJAR APA KITA ...?!

@Math.Tricks - Salah satu penerapan eksponen adalah digunakan dalam merumuskan suatu formula dalam bentuk fungsi eksponen. Pada postingan sebelumnya dengan judul EKSPONENSIAL, kita sudah mempelajari bentuk dan operasi eksponen. Pada postingan kali ini, kita akan memperdalam lagi pengetahuan kita tentang eksponen yaitu bagaimana jika perpngkatan bertemu dengan suatu fungsi yang memuat variabel pada bagian pangkatnya. Bentuk ini disebut dengan Fungsi Eksponen.

Sebelum mempelajari fungsi eksponen, kita akan membahas terlebih dahulu betuk Persamaan dan Pertidaksamaan Eksponen beserta sifat-sifat dan cara penyelesaiannya. Tujuannya adalah untuk mencari variabel bebas $x$ sehigga bisa disajikan dalam bentuk tabel atau grafik fungsi.

FUNGSI EKSPONEN

👉 dinyatakan dalam bentuk berikut:

Berikut bentuk-bentuk persamaan eksponen dan cara penyelesaiannya:

Bentuk 1 $a^{f\left ( x \right )}=a^{p}$ Maka : $f\left ( x \right )=p$	Bentuk 3 $a^{f\left ( x \right )}=a^{^{g\left ( x \right )}}$ Maka : $f\left ( x \right )=g\left ( x \right )$
Bentuk 2 $a^{f\left ( x \right )}=1$ Maka : $f\left ( x \right )=0$	Bentuk 4 $a^{f\left ( x \right )}=b^{f\left ( x \right )}$ Maka : $f\left ( x \right )=0$

Contoh :

Jika $4^{m-1}=32$, maka nilai dari $2^{m}$ adalah...

Jawab:

Bentuk persamaan eksponen berikutnya:

Bentuk 5 $f\left ( x \right )^{h\left ( x \right )}=g\left ( x \right )^{h\left ( x \right )}$ Maka: $f\left ( x \right )=g\left ( x \right )$ $h\left ( x \right )=0$ dengan $f\left ( x \right )\neq 0$, $g\left ( x \right )\neq 0$ $f\left ( x \right )=-g\left ( x \right )$ dengan $h\left ( x \right )=$ genap	Bentuk 6 $h\left ( x \right )^{f\left ( x \right )}=h\left ( x \right )^{g\left ( x \right )}$ Maka: $f\left ( x \right )=g\left ( x \right )$ $h\left ( x \right )=1$ $h\left ( x \right )=0$ dengan $f\left ( x \right )> 0$, $g\left ( x \right )> 0$ $h\left ( x \right )=-1$ dengan $f\left ( x \right )$ dan $g\left ( x \right )$ dua-duanya genap, atau dua-duanya ganjil
Bentuk 7 Bentuk persamaan kuadrat eksponen $A\left ( a^{x} \right )^{2}+B\left ( a^{x} \right )+C=0$ Maka: Misalkan $y=a^{x}$ Selesaikan persamaan kuadrat $Ay^{2}+By+C=0$ Nila $y$ yang didapat, substitusikan ke persamaan No.1 untuk mendapatkan nilai $x$

Contoh :

Nilai $x$ yang memenuhi persamaan $\left ( x-1 \right )^{2x-5}=\left ( x-1 \right )^{x+2}$ adalah...

Jawab:

    Bentuk : $h\left ( x \right )^{f\left ( x \right )}=h\left ( x \right )^{g\left ( x \right )}$

    Diketahui : 

            $h\left ( x \right )=x-1$
            $f\left ( x \right )=2x-5$
            $g\left ( x \right )=x+2$

    Maka:

    1. $f\left ( x \right )=g\left ( x \right )$

        $2x-5=x+2$

        $x=7$

    2. $h\left ( x \right )=1$

        $x-1=1$

        $x=2$

    3. $h\left ( x \right )=0$

        $x-1=0$

        $x=1$

        Substitusi $x=1$ ke $f\left ( x \right )=f\left ( 1 \right )=2\left ( 1 \right )-5=-3<0$

        Syarat $f\left ( x \right )> 0$ tidak terpenuhi

        Maka $x=1$ bukan penyelesaiannya.

    4. $h\left ( x \right )=-1$

        $x-1=-1$

        $x=0$

        Substitusi $x=0$ ke $f\left ( x \right )=f\left ( 0 \right )=2\left ( 0 \right )-5=-5$ ganjil

        Substitusi $x=0$ ke $g\left ( x \right )=g\left ( 0 \right )=0+2=2$ genap

        Syarat $f\left ( x \right )$ dan $g\left ( x \right )$ dua-duanya ganjil tidak terpenuhi

        Maka $x=0$ bukan penyelesaiannya.

Jadi, nilai $x$ yang memenuhi persamaan eksponen di atas adalah $Hp=\left\{ 2,7\right\}$

Berikut beberapa sifat eksponen pada pertidaksamaan:

Jika $a>1$, maka :

Jika $0<a<1$, maka :

Contoh :

Himpunan penyelesaian dari $49^{3x-4}>7^{x^{2}}$ adalah...

Jawab:

    $49^{3x-4}>7^{x^{2}}$

    $\Leftrightarrow \left ( 7^{2} \right )^{3x-4}>7^{x^{2}}$
    $\Leftrightarrow 7^{6x-8}>7^{x^{2}}$
    $\Leftrightarrow 6x-8>x^{2}$
    $\Leftrightarrow 0>x^{2}-6x+8$
    $\Leftrightarrow 0>\left ( x-4 \right )\left ( x-2 \right )$
    $\Leftrightarrow \left ( x-4 \right )\left ( x-2 \right )<0$

    Diperoleh nilai $x$:

        $x-4=0$

        $ x_{1}=4$
    dan

        $x-2=0$

        $ x_{2}=2$

    Masukkan ke dalam garis bilangan untuk mencari daerah minus yaitu $<0$

   
    Jadi, nilai $x$ berada pada selang $Hp=\left\{ 2<x<4\right\}$

A. Pertumbuhan Eksponen

            

Contoh :

Untuk mengamati pertumbuhan suatu bakteri pada inangnya, seorang peneliti mengambil potongan inang yang sudah terinfeksi bakteri tersebut dan mengamatinya selama 5 jam pertama. Pada inang tersebut, terdapat 30 bakteri. Setelah diamati, bakteri tersebut membelah menjadi dua setiap 30 menit.

1. Modelkan rumus pertumbuhan bakteri dengan pola $f\left ( x \right )=n\cdot a^{x}$

  

    Dari tabel didapat pola : $f\left ( x \right )=30\cdot 2^{x}$

2. Buat grafik fungsinya

3. Hitung banyak bakteri setelah $5$ jam.

    Mula-mula, akan dicari nilai $x$ pada saat $5$ jam:

        $x=\dfrac{\textrm{5 jam}}{\textrm{30 menit}}=\dfrac{5\times \textrm{60 menit}}{\textrm{30 menit}}=10$

    Masukkan nilai $x$ ke rumus No.1, diperoleh banyak bakteri:

        $f\left ( 10 \right )=30\times 2^{10}=30.720$

B. Peluruhan Eksponen
              
Contoh :

Obat penahan rasa sakit disuntikkan kepada pasien yang mengalami luka berat akibat kecelakaan. Dosis obat yang disuntikkan adalah 50 mikrogram. Satu jam setelah penyuntikan, setengah dosis tersebut akan luruh dan dikeluarkan dari dalam tubuh. Proses tersebut akan terus berulang setiap jam.

1. Modelkan rumus peluruhan obat dengan pola $f\left ( x \right )=n\cdot a^{x}$

    

    Dari tabel didapat pola : $f\left ( x \right )=50\cdot \left ( \dfrac{1}{2} \right )^{x}$
2. Buat grafik fungsinya

3. Dosis obat setelah $5$ jam

    Nilai $x$ saat 5 jam adalah $x=5$

    Masukkan nilai $x$ ke rumus No.1, diperoleh:

        $f\left ( 5 \right )=50\cdot \left ( \dfrac{1}{2} \right )^{5}=\dfrac{50}{32}=1,5625$

C. Grafik Fungsi Eksponen

---

Demikian ringkasan materi Matematika SMA - Fungsi Eksponen. Dipersilahkan kepada para pembaca untuk mengisi kolom komentar atau buku tamu di kanan atas blog ini jika ada tambahan catatan, koreksi, kritik dan saran supaya postingan ini lebih baik lagi. Terima kasih sudah berkunjung, semoga bermanfaat. CMIIW 😃

---

Baca Selengkapnya »

Eksponen

BELAJAR APA KITA ...?!

@Math.Tricks - Eksponen pada ilmu matematika awalnya ditemukan oleh Rene Decartes (1596-1650). Tujuan eksponen adalah untuk menyingkat penulisan bilangan yang sangat besar atau bilangan yang sangat kecil dengan perkalian berulang. Contoh jarak bumi ke matahari ditulis $1$ SA $=1,5\times 10^{8}$.

Setelah sebelumnya kita mengenal operasi penjumlahan dan perkalian, sekarang kita akan mempelajari istilah operasi lain dalam matematika yaitu eksponen. Eksponen atau bilangan berpangkat didefinisikan sebagai perkalian berulang. Sebagaimana yang sudah dipelajari saat SMP - Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar, kali ini kita akan perdalam lagi dengan mempelajari Fungsi Eksponen dan Logaritma.

EKSPONEN

👉 dinyatakan dalam bentuk berikut:

Eksponen didefinisikan sesuai bentuk bilangan pangkatnya.

Pangkat Bulat Positif  Contoh : $3^{4}=3\times 3\times 3\times 3=81$	Pangkat Nol Contoh : $3^{0}=1$
Pangkat Bulat Negatif Contoh : $3^{-2}=\dfrac{1}{3^{2}}=\dfrac{1}{9}$	Pangkat Pecahan Contoh : $a^{\Large\frac{1}{3}}=2$                     $a=2^{\Large\frac{3}{1}}$                     $a=2^{3}=8$

Sifat-sifat eksponen :

$a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}$ $\Large\frac{a^{m}}{a^{n}}$$=a^{m-n}$ $\left ( a^{m} \right )^{n}=a^{m\times n}$ $\left ( ab \right )^{n}=a^{n}\times b^{n}$

$\left ( \dfrac{a}{b} \right )^{n}=\dfrac{a^{n}}{b^{n}}$ $\left ( a^{\Large\frac{m}{n}} \right )$$\left( a^{\Large\frac{p}{q}} \right )$$=\left ( a \right )^{\Large\frac{m}{n}+\frac{p}{q}}$

Contoh :

Bentuk sederhana dari perkalian berikut adalah:

👉 Berasal dari bentuk pangkat pecahan sebagai berikut:

Sifat-sifat bentuk akar :

$a\sqrt{c}\pm b\sqrt{c}=\left ( a\pm b \right )\sqrt{c}$ $\sqrt{a}\times \sqrt{b}=\sqrt{a\times b}$ $a\sqrt{b}\times  c\sqrt{d}=\left ( a\times  c \right )\sqrt{b\times d}$ $\sqrt{a}\left (\sqrt{b}\pm \sqrt{c}  \right )=\sqrt{ab}\pm \sqrt{ac}$

$\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}$ $\dfrac{a\sqrt{b}}{c\sqrt{d}}=\dfrac{a}{c}\sqrt{\dfrac{b}{d}}$

Bentuk lain perkalian akar :

$\left ( \sqrt{a}\pm \sqrt{b} \right )^{2}=a\pm  2\sqrt{ab}+b$ $\left ( \sqrt{a}+ \sqrt{b} \right )\left ( \sqrt{a}- \sqrt{b} \right )=a-b$

$\sqrt{\left ( a+b \right )+2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$ $\sqrt{\left ( a+b \right )-2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}-\sqrt{b}$

Merasionalkan Bentuk Akar :

Pada bilangan pecahan, bentuk akar tidak boleh berada pada posisi penyebut / dibawah tanda bagi. Oleh sebab itu, jika ditemukan bentuk akar berada dibawah tanda bagi, maka harus dirasionalkan dengan cara mengalikan akar sekawan.

1. $\dfrac{a}{\sqrt{b}}=\dfrac{a}{\sqrt{b}}\times \dfrac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}}=\dfrac{a}{b}\sqrt{b}$
2. $\dfrac{a}{b\pm \sqrt{c}}=\dfrac{a}{b\pm \sqrt{c}}\times \dfrac{b\mp \sqrt{c}}{b\mp \sqrt{c}}=\dfrac{a\left ( b\mp \sqrt{c} \right )}{b^{2}-c}$
3. $\dfrac{a}{\sqrt{b}\pm \sqrt{c}}=\dfrac{a}{\sqrt{b}\pm \sqrt{c}}\times \dfrac{\sqrt{b}\mp \sqrt{c}}{\sqrt{b}\mp \sqrt{c}}=\dfrac{a\left ( \sqrt{b}\mp \sqrt{c} \right )}{b-c}$

Contoh :

Rasionalkan bentuk berikut:

Beberapa contoh soal ujian dan pembahasannya:

1. Bentuk sederhana dari $\dfrac{\left ( -5 \right )^{6}\times 25^{2}}{125}$ adalah...

    a. $5^{8}$
    b. $5^{7}$
    c. $-5^{7}$
    d. $-5^{8}$
    e. $-5^{10}$

Jawab:

$\dfrac{\left ( -5 \right )^{6}\times 25^{2}}{125}$
        $=\dfrac{\left ( -1\times 5 \right )^{6}\times \left ( 5^{2} \right )^{2}}{5\times 5\times 5}$
        $= \dfrac{\left ( -1 \right )^{6}\times 5^{6}\times 5^{4}}{5^{3}}$
        $= \dfrac{1\times 5 ^{6+4}}{5^{3}}$
        $= \dfrac{5 ^{10}}{5^{3}}=5^{10-3}=5^{7}$ B

2. Hitung $\dfrac{1^{-4}+2^{-4}+3^{-4}+4^{-4}+...}{1^{-4}+3^{-4}+5^{-4}+7^{-4}...}=...$

    a. $\dfrac{14}{13}$

    b. $\dfrac{15}{16}$

    c. $\dfrac{16}{15}$

    d. $\dfrac{17}{16}$

    e. $\dfrac{16}{17}$

Jawab:

Misalkan : $y=\dfrac{1^{-4}+2^{-4}+3^{-4}+4^{-4}+...}{1^{-4}+3^{-4}+5^{-4}+7^{-4}...}$

Maka:

$y=\dfrac{1^{-4}+2^{-4}+3^{-4}+4^{-4}+...}{1^{-4}+3^{-4}+5^{-4}+7^{-4}...}$

$y=\dfrac{1^{-4}+3^{-4}+5^{-4}+7^{-4}+...+2^{-4}+4^{-4}+6^{-4}+8^{-4}+...}{1^{-4}+3^{-4}+5^{-4}+7^{-4}...}$

$y= \dfrac{1^{-4}+3^{-4}+5^{-4}+7^{-4}+...}{1^{-4}+3^{-4}+5^{-4}+7^{-4}...}+\dfrac{2^{-4}+4^{-4}+6^{-4}+8^{-4}+...}{1^{-4}+3^{-4}+5^{-4}+7^{-4}...}$

$y= 1+\dfrac{\left ( 1\times 2 \right )^{-4}+\left ( 2\times 2 \right )^{-4}+\left ( 3\times 2 \right )^{-4}+\left ( 4\times 2 \right )^{-4}+...}{1^{-4}+3^{-4}+5^{-4}+7^{-4}...}$

$y=1+\dfrac{2^{-4}\left ( 1^{-4}+2^{-4}+3^{-4}+4^{-4}+... \right )}{1^{-4}+3^{-4}+5^{-4}+7^{-4}...}$

$y=1+2^{-4}y$

$y-1=\dfrac{y}{2^{4}}$

$2^{4}\left ( y-1 \right )=y$

$16y-16=y$

$16y-y=16$

$15y=16$

$y=\dfrac{16}{15}$ C

3. Hitung $\dfrac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}=...$

    a. 6

    b. 7

    c. 8

    d. 9

    e. 10

Jawab:

Rasionalkan masing-masing penyebut
$=\dfrac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}\times \dfrac{\sqrt{1}-\sqrt{2}}{\sqrt{1}-\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}\times \dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}\times \dfrac{\sqrt{99}-\sqrt{100}}{\sqrt{99}-\sqrt{100}}$

$=\dfrac{\sqrt{1}-\sqrt{2}}{-1}+ \dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{-1}+\dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{4}}{-1}+...+ \dfrac{\sqrt{99}-\sqrt{100}}{-1}$

$=-\sqrt{1}+\sqrt{2}-\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{3}+\sqrt{4}-...+\sqrt{99}-\sqrt{99}+\sqrt{100}$

$=-\sqrt{1}+\sqrt{100}$

$=-1+10$

$=9$  D

4. Bentuk sederhana dari $\sqrt{8+2\sqrt{15}}$ adalah...
    a. $\sqrt{5}+\sqrt{2}$
    b. $\sqrt{5}+\sqrt{3}$
    c. $\sqrt{5}-\sqrt{2}$
    d. $\sqrt{5}-\sqrt{3}$
    e. $\sqrt{5}+\sqrt{7}$

Jawab:

$\sqrt{8+2\sqrt{15}}=\sqrt{\left ( 5+3 \right )+2 \sqrt{5\times 3}}$
                    $=\sqrt{5}+\sqrt{3}$ B

---

Demikian ringkasan materi Matematika SMA - Eksponen. Dipersilahkan kepada para pembaca untuk mengisi kolom komentar atau buku tamu di kanan atas blog ini jika ada tambahan catatan, koreksi, kritik dan saran supaya postingan ini lebih baik lagi. Terima kasih sudah berkunjung, semoga bermanfaat. CMIIW 😃

Materi selanjutnya....

 👈 Click here....

 👈 Click here....

---

Baca Selengkapnya »

Kumpulan Soal Bilangan Bulat

SOAL DAN PEMBAHASAN...!

@Math.Tricks pada postingan kali ini, akan berbagi soal dan pembahasan Matematika SMP - Bilangan Bulat. Soal-soal berikut diambil dari soal ujian tingkat Sekolah Negri/MTs, Nasional dan Sekolah Unggul. Sebelum membahas soal, silahkan dipahami terlebih dahulu materi pelajarannya disini Bilangan Bulat.

---

1. Suhu es mula-mula $5^{\circ}C$. Dua jam kemudia suhu turun $7^{\circ}C$. Suhu es sekarang adalah…

    a. $-12^{\circ}C$
    b. $-2^{\circ}C$

    c. $2^{\circ}C$

    d. $12^{\circ}C$

Jawab:

B

Titik terakhir adalah hasilnya $=-2^{\circ}C$.

---

2. Pernyataan berikut yang benar adalah...

    a. $17-\left ( -13 \right )-4=0$
    b. $-25-\left ( -8 \right )-17=-34$
    c. $-18+\left ( -2 \right )+13=7$
    d. $12+\left ( -7 \right )-6=1$

Jawab:

a. $17-\left ( -13 \right )-4=17+13-4=26$

b. $-25-\left ( -8 \right )-17=-25+8-17=-34$ B

c. $-18+\left ( -2 \right )+13=-18-2+13=-7$

d. $12+\left ( -7 \right )-6=12-7-6=-1$

---

3. Nilai dari $35+14\times 8-34\div 17$ adalah...

    a. $145$

    b. $245$

    c. $246$

    d. $345$

Jawab:

$35+14\times 8-34\div 17$

    $=35+\left ( 14\times 8 \right )-\left ( 34\div 7 \right )$

    $=35+112-2$

    $=145$  A

---

4. Hasil dari $-15+\left ( -12\div 3 \right )$ adalah...

    a. $-19$

    b. $-11$

    c. $-9$

    d. $9$

Jawab:

$-15+\left ( -12\div 3 \right )$

    $=-15+\left ( -4 \right )$

    $=-15-4$
    $=-19$ A

---

5. Dalam kompetisi matematika setiap jawaban benar diberi nilai $4$, salah $-2$, dan tidak menjawab $-1$. Dari $40$ soal, Rini menjawab benar $31$ dan salah $6$. Skor yang diperoleh Rini adalah…

    a. $112$

    b. $109$

    c. $107$

    d. $105$

Jawab:

Jumlah soal $=40$

Benar $=31\times 4=124$

Salah $=5\times \left ( -2 \right )=-12$

Tidak dijawab $=\left ( 40-\left ( 31+6 \right ) \right )\times \left ( -1 \right )$
        $=\left ( 40-37 \right )\times \left ( -1 \right )$
        $=3\times \left ( -1 \right )=-3$

Jadi, skor Rini $=124-12-3=109$ B

---

6. Suhu di kulkas sebelum dihidupkan adalah $29^{\circ}C$. Setelah dihidupkan, suhu turun $3^{\circ}C$ setiap $5$ menit. Setelah $10$ menit, suhu kulkas menjadi...

    a. $23^{\circ}C$

    b. $26^{\circ}C$

    c. $32^{\circ}C$

    d. $35^{\circ}C$

Jawab:

Suhu sebelum $=29^{\circ}C$
Suhu turun $=\left ( 10\div 5 \right )\times \left ( -3^{\circ}C \right )=-6^{\circ}C$
Jadi, suhu setelah $10$ menit $=29^{\circ}C-6^{\circ}C=23^{\circ}C$ A

---

7. Suatu daerah dengan tinggi $3.500$ meter di atas permukaan laut memiliki suhu $-8^{\circ}C$. Setiap naik $100$ meter, suhu berkurang $1^{\circ}C$. Suhu di ketinggian $400$ meter adalah…

    a. $22^{\circ}C$

    b. $23^{\circ}C$

    c. $24^{\circ}C$

    d. $25^{\circ}C$

Jawab:

Jika naik $100$ meter ⇒ suhu $-1^{\circ}C$

Jika turun $100$ meter ⇒ suhu $+1^{\circ}C$

Jarak dua ketinggian $=3.500-400=3.100$

Jadi, suhu di $400$ meter 

            $=\left ( 3.100\div 100\times 1 \right )+\left ( -8 \right )$

            $=31-8$
            $=23^{\circ}C$ B

---

8. Jika $x$ lebih besar dari $1$ dan kurang dari $4$, maka penulisan yang tepat adalah...

    a. $x>1>4$

    b. $x<1<4$

    c. $1>x>4$

    d. $1<x<4$

Jawab:

D

---

9. Nilai dari $-3\times \left ( 15+\left ( -52 \right ) \right )=...$

    a. $97$

    b. $111$

    c. $-111$

    d. $-201$

Jawab:

$-3\times \left ( 15+\left ( -52 \right ) \right )$

        $=-3\times \left ( 15-52 \right )$
        $=-3\times \left ( -37 \right )$
        $=111$ B

---

10. Angka $9$, $2$, $4$, dan $5$ akan disusun menjadi dua bilangan berbeda. Bilangan pertama disusun dari keempat angka dengan susunan dari angka terbesar ke angka terkecil. Bilangan kedua disusun dari empat angka dengan susunan dari angka terkecil ke angka terbesar. Selisih dari bilangan terbesar dengan terecil yang ihasilkan adalah...

        a. $3.816$

        b. $4.816$

        c. $7.083$

        d. $8.183$

Jawab:

Susunan pertama $=9.542$

Susunan kedua $=2.459$

Selisih $=9.542-2.459=7.083$  C

---

11. Hasil dari $273+3.214+38+83.243=...$

        a. $81.740$

        b. $82.392$

        c. $84.763$

        d. $86.768$

Jawab:

D

---

12. Hasil dari $53+54+55+...+99+100=...$

        a. $2.001$

        b. $3.672$

        c. $5.508$

        d. $7.234$

Jawab:

$=\left ( 53+100 \right )+\left ( 54+99 \right )+...+\left ( 75+78 \right )+\left ( 76+77 \right )$

$=153+153+..+153+153$

$=24\times 153$

$=3.672$  B

---

13. Dalam suatu ujian terdapat dua tipe soal, yaitu pilihan ganda dan isian. Soal pilihan ganda bernilai $+4$ jika benar, $-1$ jika salah, dan $0$ jika tidak diisi. Soal isian bernilai $+2$ jika benar dan $0$ jika tidak diisi maupun salah. Banyak soal adalah $20$ soal pilihan ganda dan $10$ isian. Ani menjawab $15$ soal pilihan ganda dengan $3$ diantaranya salah dan $8$ soal isian dengan $2$ diantaranya salah. Nilai akhirnya adalah...

        a. $12$

        b. $45$

        c. $51$

        d. $57$      

Jawab:

Pilihan ganda:
        Benar $=\left ( 15-3 \right )\times 4=12\times 4=48$
        Salah $=3\times \left ( -1 \right )=-3$
Isian:
        Benar $=\left ( 8-2 \right )\times 2=6\times 2=12$
        Salah $=2\times 0=0$
Nilai akhir $=48-3+12+0=57$  D

---

14. Andi memesan $4$ pizza besar, $6$ pizza sedang, dan $7$ pizza kecil. Pizza besar terdiri dari $8$ potongan, pizza sedang terdiri dari $6$ potongan, dan pizza kecil terdiri dari $4$ potongan. Banyak potongan pizza yang ia miliki adalah...

        a. $90$

        b. $96$

        c. $108$

        d. $126$

Jawab:

Pizza besar $=4\times 8=32$

Pizza sedang $=6\times 6=36$

Pizza kecil $=7\times 4=28$

Banyak potongan pizza $=32+36+28=96$ B

---

15. Jika suatu bilangan dibagi dengan $2$, maka menghasilkan angka $15$. Jika angka tersebut dikalikan dengan $3$, hasilnya adalah...

        a. 30

        b. 45

        c. 60

        d. 90

Jawab:

Perhatikan tabel berikut:

Jadi, $a=30$

Maka: $a\times 3=30\times 3=90$  D

---

16. Pada saat ujian, nilai $+4$ diberikan untuk soal yang dijawab dengan benar, nilai $-1$ untuk soal yang salah, dan $+1$ untuk soal yang tidak dijawab. Andi, Mila dan Nita mengikuti ujian. Dari $20$ soal, Andi menjawab $16$ soal, Mila $14$ soal, dan Nita menjawab semua soal. Jika Andi salah menjawab sebanyak $3$ soal, Mila salah $1$ soal, dan Nita salah $5$ soal, maka yang memiliki nilai tertinggi adalah...

        a. Andi

        b. Mila

        c. Nita

        d. Tidak bisa ditentukan

Jawab:

Kerjakan dengan tabel untuk mengelompokannya:

Jadi yang memiliki nilai tertinggi adalah Mila. B

---

17. Hasil dari $1-2+3-4+...-98+99-100=...$

        a. $100$

        b. $50$

        c. $-50$

        d. $-100$

Jawab:

Pisahkan angka positif dan negatif.

Ganjil : $=\left ( 1+99 \right )+\left ( 3+97 \right )+...+\left ( 47+53 \right )+\left ( 49+51 \right )$

    $=100+100+...+100$
    $=25\times 100$

    $=2.500$

Genap : $=\left ( -2-100 \right )+\left ( -4-98 \right )+...+\left ( -50-52 \right )$

    $=-102-102-...-102$
    $=25\times \left ( -102 \right )$

    $=-2.550$

    

Jadi, $1-2+3-4+...-98+99-100=2.500-2.550=-50$ C

---

Demikian Kumpulan Soal Matematika SMP - Bilangan Bulat. Dipersilahkan kepada pembaca untuk mengisi kolom komentar atau buku tamu jika ada tambahan catatan, koreksi, kritik dan saran supaya postingan ini lebih baik lagi. Terima kasih sudah berkunjung, semoga bermanfaat. CMIIW 😃

---

Baca Selengkapnya »